1. Fonctions réciproquesPage 1 du cours · PDF, page 2

Activité 1

Températures

Les Anglo-saxons ne travaillent pas avec les degrés Celsius (°C) comme nous, mais avec les degrés Fahrenheit (°F).

Dans ce système, la glace fond à 32 °F et l’eau bout à 212 °F.

Des degrés Celsius aux degrés Fahrenheit

Complète le tableau suivant et détermine l’expression analytique de la fonction f(x) donnant la température exprimée en degrés Fahrenheit en fonction de la même température exprimée en degrés Celsius.

Degrés Celsius°C−20−100104080100
Degrés Fahrenheit°F
Expression analytique

Des degrés Fahrenheit aux degrés Celsius

Complète le tableau suivant et détermine l’expression analytique de la fonction g(x) donnant la température exprimée en degrés Celsius en fonction de la même température exprimée en degrés Fahrenheit.

Degrés Fahrenheit°F−400143268140212
Degrés Celsius°C
Expression analytique

Les deux fonctions dans un même repère

Dans un même repère orthonormé, réalise les graphes des fonctions f(x) et g(x) obtenues.

Repère orthonormé pour les fonctions de conversion Axes x et y gradués de −60 à 240, avec la même échelle sur les deux axes.

Repère orthonormé · un petit carreau représente 10 unités sur chaque axe.

1. Fonctions réciproquesPage 2 du cours · PDF, page 3

Activité 2 · 1 / 7

Réciproques de fonctions usuelles

1) Représenter la fonction

Dans un RON, représente graphiquement la fonction f(x) = 2x + 3.

x
f(x) = 2x + 3
Graphique de f(x) = 2x + 3Repère orthonormé. La correction ajoute la relation réciproque par échange des coordonnées.

Même échelle sur les deux axes.

Tracer la réciproque

Dans le même repère, trace le graphe de g(x) symétrique de la fonction f par symétrie orthogonale d’axe y = x.

Compléter les caractéristiques

Complète le tableau suivant.

Caractéristiquef(x) = 2x + 3Réciproque g
Domaine
Ensemble image
Zéro(s)
Ordonnée à l’origine
Asymptote(s)
1. Fonctions réciproquesPage 3 du cours · PDF, page 4

Activité 2 · 2 / 7

Réciproques de fonctions usuelles

2) Représenter la fonction

Dans un RON, représente graphiquement la fonction f(x) = x².

x
f(x) = x²
Graphique de f(x) = x²Repère orthonormé. La correction ajoute la relation réciproque par échange des coordonnées.

Même échelle sur les deux axes.

Tracer la réciproque

Dans le même repère, trace le graphe de g(x) symétrique de la fonction f par symétrie orthogonale d’axe y = x.

Compléter les caractéristiques

Complète le tableau suivant.

Caractéristiquef(x) = x²Réciproque g
Domaine
Ensemble image
Zéro(s)
Ordonnée à l’origine
Asymptote(s)
1. Fonctions réciproquesPage 4 du cours · PDF, page 5

Activité 2 · 3 / 7

Réciproques de fonctions usuelles

3) Représenter la fonction

Dans un RON, représente graphiquement la fonction f(x) = √x.

x
f(x) = √x
Graphique de f(x) = √xRepère orthonormé. La correction ajoute la relation réciproque par échange des coordonnées.

Même échelle sur les deux axes.

Tracer la réciproque

Dans le même repère, trace le graphe de g(x) symétrique de la fonction f par symétrie orthogonale d’axe y = x.

Compléter les caractéristiques

Complète le tableau suivant.

Caractéristiquef(x) = √xRéciproque g
Domaine
Ensemble image
Zéro(s)
Ordonnée à l’origine
Asymptote(s)
1. Fonctions réciproquesPage 5 du cours · PDF, page 6

Activité 2 · 4 / 7

Réciproques de fonctions usuelles

4) Représenter la fonction

Dans un RON, représente graphiquement la fonction f(x) = x³.

x
f(x) = x³
Graphique de f(x) = x³Repère orthonormé. La correction ajoute la relation réciproque par échange des coordonnées.

Même échelle sur les deux axes.

Tracer la réciproque

Dans le même repère, trace le graphe de g(x) symétrique de la fonction f par symétrie orthogonale d’axe y = x.

Compléter les caractéristiques

Complète le tableau suivant.

Caractéristiquef(x) = x³Réciproque g
Domaine
Ensemble image
Zéro(s)
Ordonnée à l’origine
Asymptote(s)
1. Fonctions réciproquesPage 6 du cours · PDF, page 7

Activité 2 · 5 / 7

Réciproques de fonctions usuelles

5) Représenter la fonction

Dans un RON, représente graphiquement la fonction f(x) = ∛x.

x
f(x) = ∛x
Graphique de f(x) = ∛xRepère orthonormé. La correction ajoute la relation réciproque par échange des coordonnées.

Même échelle sur les deux axes.

Tracer la réciproque

Dans le même repère, trace le graphe de g(x) symétrique de la fonction f par symétrie orthogonale d’axe y = x.

Compléter les caractéristiques

Complète le tableau suivant.

Caractéristiquef(x) = ∛xRéciproque g
Domaine
Ensemble image
Zéro(s)
Ordonnée à l’origine
Asymptote(s)
1. Fonctions réciproquesPage 7 du cours · PDF, page 8

Activité 2 · 6 / 7

Réciproques de fonctions usuelles

6) Représenter la fonction

Dans un RON, représente graphiquement la fonction f(x) = |x|.

x
f(x) = |x|
Graphique de f(x) = |x|Repère orthonormé. La correction ajoute la relation réciproque par échange des coordonnées.

Même échelle sur les deux axes.

Tracer la réciproque

Dans le même repère, trace le graphe de g(x) symétrique de la fonction f par symétrie orthogonale d’axe y = x.

Compléter les caractéristiques

Complète le tableau suivant.

Caractéristiquef(x) = |x|Réciproque g
Domaine
Ensemble image
Zéro(s)
Ordonnée à l’origine
Asymptote(s)
1. Fonctions réciproquesPage 8 du cours · PDF, page 9

Activité 2 · 7 / 7

Réciproques de fonctions usuelles

7) Représenter la fonction

Dans un RON, représente graphiquement la fonction f(x) = 1/x.

x
f(x) = 1/x
Graphique de f(x) = 1/xRepère orthonormé. La correction ajoute la relation réciproque par échange des coordonnées.

Même échelle sur les deux axes.

Tracer la réciproque

Dans le même repère, trace le graphe de g(x) symétrique de la fonction f par symétrie orthogonale d’axe y = x.

Compléter les caractéristiques

Complète le tableau suivant.

Caractéristiquef(x) = 1/xRéciproque g
Domaine
Ensemble image
Zéro(s)
Ordonnée à l’origine
Asymptote(s)
1. Fonctions réciproquesPage 9 du cours · PDF, page 10

1.1.

Définition et propriétés

Définition 1 · Réciproque d’une fonction

On appelle relation réciproque de la fonction f la relation qui à tout réel x de l’ensemble image fait correspondre le(s) réel(s) y tel(s) que f(y) = x.

Remarques

La réciproque d’une fonction .

Par exemple, les réciproques des fonctions .

Si la réciproque d’une fonction f est une fonction, alors cette réciproque est notée f⁻¹.

Propriété 1 · Graphique de la réciproque d’une fonction

Une fonction et sa réciproque ont des graphiques symétriques par rapport à la droite d’équation y = x uniquement dans un RON (repère orthonormé).

Propriété 2 · Caractéristiques de la réciproque

Caractéristiqueff⁻¹
Domainedom f
Ensemble imageim f
Zéro(s)(r ; 0)
Ordonnée à l’origine(0 ; p)
Asymptote verticalex = a
Asymptote horizontaley = b
1. Fonctions réciproquesPage 10 du cours · PDF, page 11

Exercice 1

Tracer les relations réciproques

Dessine si c’est possible le graphe de la réciproque des fonctions f représentées ci-dessous.

Graphique 1

Exercice 1, graphique 1Repère orthonormé. La correction ajoute la relation réciproque par échange des coordonnées.

Même échelle sur les deux axes.

Fonction f

Graphique 2

Exercice 1, graphique 2Repère orthonormé. La correction ajoute la relation réciproque par échange des coordonnées.

Même échelle sur les deux axes.

Fonction f

Graphique 3

Exercice 1, graphique 3Repère orthonormé. La correction ajoute la relation réciproque par échange des coordonnées.

Même échelle sur les deux axes.

Fonction f

Graphique 4

Exercice 1, graphique 4Repère orthonormé. La correction ajoute la relation réciproque par échange des coordonnées.

Même échelle sur les deux axes.

Fonction f

Graphique 5

Exercice 1, graphique 5Repère orthonormé. La correction ajoute la relation réciproque par échange des coordonnées.

Même échelle sur les deux axes.

Fonction f

Quelles réciproques sont des fonctions ?

Parmi les graphiques des réciproques, quels sont ceux qui représentent une fonction ?

1. Fonctions réciproquesPage 11 du cours · PDF, page 12

1.2.

Expression analytique de la réciproque

Pour déterminer l’expression analytique de la réciproque d’une fonction f, il faut :

  1. écrire la fonction sous la forme y = f(x) ;
  2. permuter x et y ;
  3. exprimer y en fonction de x.

Exemple 1

y = 5/(x − 1)

Exemple 2

y = x²

Exercice 2

Détermine l’expression analytique de la réciproque des fonctions suivantes et précise si cette réciproque est une fonction.

Fonction a

f(x) = x³

Fonction b

f(x) = √x

Fonction c

f(x) = ∛x

Fonction d

f(x) = 3x + 5

Fonction e

f(x) = −2x + 4

Fonction f

f(x) = x² − 4

1. Fonctions réciproquesPage 12 du cours · PDF, page 13

Exercice 3

Du graphique à l’expression

a) Trace le graphique de la réciproque de chacune des fonctions représentées ci-dessous.

b) Donne l’expression analytique de chaque réciproque et précise si cette réciproque est une fonction.

Graphique 1 · Tracer la réciproque

Exercice 3, graphique 1Repère orthonormé. La correction ajoute la relation réciproque par échange des coordonnées.

Même échelle sur les deux axes.

Fonction f

Graphique 1 · Expression analytique

Donne l’expression analytique de la réciproque et précise si cette réciproque est une fonction.

Graphique 2 · Tracer la réciproque

Exercice 3, graphique 2Repère orthonormé. La correction ajoute la relation réciproque par échange des coordonnées.

Même échelle sur les deux axes.

Fonction f

Graphique 2 · Expression analytique

Donne l’expression analytique de la réciproque et précise si cette réciproque est une fonction.

Graphique 3 · Tracer la réciproque

Exercice 3, graphique 3Repère orthonormé. La correction ajoute la relation réciproque par échange des coordonnées.

Même échelle sur les deux axes.

Fonction f

Graphique 3 · Expression analytique

Donne l’expression analytique de la réciproque et précise si cette réciproque est une fonction.